Einleitung

Irgendwie bin ich verkehrtherum in die Fraktalwelt eingestiegen. Mich interessierten als erstes "schöne" Bilder aus den Randgebieten des quadratischen Mandelbrot-Fraktals, dann kam die Geschichte mit höheren Potenzen. Einigermassen überrascht war ich, als da wieder sehr ähnliche Bilder erschienen, wie beim quadratischen.

Nächstes waren Fraktale nach Julia, und weil bereits Funktionen für Mandelbrot in allen Potenzen existierten, entstanden auch welche für Julia's von der 2. bis zur 21. Potenz. Hierbei entstanden bei den Potenzen ab ca. 12 immerhin Bilder, die z.B. als Vorlagen für Glasuntersätze oder Tortenunterlagen dienen können.

Dann hab ich irgendwo dreidimensionale Darstellungen derartiger Fraktale gesehen und die haben mich gereizt. Also schrieb ich entsprechende Programme. Wobei allerdings bei Bildern nach Mandelbrot nur die Potenzen 2-6 und bei solchen nach Julia die Potenzen 2-11 genauer untersucht wurden, höhere Potenzen brachten (ausser langer Rechenzeiten) wenig.

Eigentlich hätte ich diese vier Möglichkeiten ins gleiche Programm einbauen können, aber vier eigenständige waren einfacher zu erstellen.

Nun, eigentlich hätte ich mich jetzt zurücklehnen können, aber ich erkannte, dass sich manches meiner Bilder sich nicht nur auf meinem Monitor präsentierte, sondern (mit etwas Phantasie) auch in der Natur zu entdecken war.

      

Also beschaffte ich den Essay THE FRACTAL GEOMETRY OF NATURE (Mandelbrot 1983) - aber irgendwie war's das auch nicht.

Mandelbrot schneidet in seinem Essay das Problem der Küstenlänge von England an. Es ist praktisch unmöglich, ihre tatsächliche Länge genau zu bestimmen. Anhand von mathematisch handhabbaren Beispielen zeigt er, dass diese Küstenlänge zwar eine Linie ist, dass sie aber nicht eindimensional ist. Die Dimension des Gebildes liegt irgendwo zwischen den Ganzzahlwerten 1 und 2, Mandelbrot schätzt 1.26, sie ist also eine gebrochene Zahl. Und daher der Name Fractal, lateinisch fractum heisst gebrochen.

Eine derartige "Küstenlinie" weist auch das wohlbekannte Apfelmännchen auf. Um dies besser zu illustrieren, hab ich eine kleine Animation zusammengebaut:

Ausgehend vom Bild x 1 (Originalgrösse) wird jeweils ein Ausschnitt vergrössert bis x 1000. Man könnte auch noch weiter vergrössern, allerdings wäre dann die Grenze schwarz/weiss nicht mehr so scharf. Stimmt eigentlich, die Natur kennt auch keine absolut scharfen Ecken.

Eigenartigerweise scheint Mandelbrot nicht bemerkt zu haben, dass sich in den Regionen knapp ausserhalb seiner Figur eine unendliche Vielzahl von ansprechenden Bildern verbirgt. Kann sein, dass der ihm zur Verfügung stehende Computer noch gar nichts farbiges darstellen konnte; Mandelbrot war immerhin einer der ersten, der auf einem Terminal Graphik anzeigen konnte.

Fraktametrie

Geometrie, also Erdvermessung, das war die Kunst der alten Ägypter, um das Land nach den jährlichen Nilüberschwemmungen wieder den Eigentümern zuteilen zu können. Daraus entwickelte sich in Griechenland, vor allem unter Euklid, die klassische Geometrie mit Zirkel und Lineal, mit der Pläne für den Bau von Häusern, Maschinen usw. konstruiert werden können. Nur, in der Natur taugt diese Geometrie nicht viel: Berge sind keine Kegel, Inseln keine Kreisflächen, Blitze keine Geraden und Wolken keine Kugeln. Ähnliches wäre zu sagen von der Mathematik, obschon es Forscher gibt, die der Meinung sind, dass eine Vermutung bewiesen sei, sobald der Befund mathematisch formuliert werden könne. Mathematik und die ihr untergeordnete Geometrie führten ihr isoliertes Leben in einem eigenen Elfenbeinturm.

Daneben entwickelte sich die Kartographie, also die Darstellung der Erdoberfläche auf zweidimensionale oder auch dreidimensionale (Globen) Weise. Dabei leisten Elemente der Mathematik (Trigonometrie) gute Dienste.

Geos, (Erde) und Metrie (Vermessung) ergeben Geometrie, Fraktal und Metrie führen zu Fraktametrie, also Vermessung von Fraktalgebilden. Üblicherweise spricht man zwar von Fraktalgeometrie, mir passt diese Fraktal-Erd-Vermessung nicht, also nenn ich es Fraktametrie.

Fraktametrie erinnert an Kartographie, jeder Punkt des Objektes wird mit X, Y und Z dargestellt, bei Z wird oft auf Farben ausgewichen.

Chaos

Ursprünglich stammt das Wort CHAOS aus dem Griechischen und bedeutet: Gähnender Schlund, Abgrund, klaffende Leere.

Der Begriff erfuhr unter den Philosophen Anaxagoras und Plato eine Umdeutung: Urstoff, gestaltlos, ungeformt.

Heute bedeutet Chaos meist etwas Negatives: Unordnung, Durcheinander, Wirrwarr. "Chaot" ist wohl meistens als Schimpfwort verstanden.

Chaos als wissenschaftlicher Begriff wurde als erstes 1975 von J. Yorke in seinem Artikel "Period three implies Chaos" erwähnt, allerdings war es wohl nicht ganz ernst gemeint. Der Autor untersuchte Eigenschaften von Abbildungen eines Intervalls auf sich selbst, wobei nichtperiodisches Verhalten entstand.

Ein Charakteristikum chaotischer Systeme ist ihre Empfindlichkeit gegenüber Veränderung der Anfangs- oder Randbedingungen; oft schlägt regelmässiges Verhalten plötzlich in unregelmässiges um. E. Lorenz hatte bereits 1965 dieses Verhalten an mathematischen Wettermodellen gefunden und prägte bald darnach das geflügelte Wort vom Schmetterling im Golf von Mexiko, der mit einem Flügelschlag das Wetter in Europa beeinflussen könne.

1989 untersuchte H. Poincare die Stabilität der Planetenbahnen in unserem Sonnensystem. Er fand, dass sich winzige Bahnstörungen gegenseitig aufschaukeln können. Aus Angst vor Konsequenzen verzichtete er auf eine Weiterführung seiner Arbeiten; trotzdem spricht man heute von Poincare-Szenarien, wenn ein System von einem geordneten Verhalten ins chaotische umschlägt.

Etwas einfacheres als unser Sonnensystem ist ein Doppelpendel: Am Ende eines Pendels hängt ein zweites. Wird das erste nur leicht angestossen, so schwingt das Ganze regelmässig. Bei stärkerer Anregung werden die Schwingungen unregelmässig. Trotz einfacher Gesetze - die nach wie folgt gelten - ist das Verhalten nicht mehr zu berechnen. Man spricht vom "deterministischen" Chaos.

Chaos gleich Ende aller Dinge?

Was heisst nun deterministisches Chaos: Es sind dies Systeme mit einem Attraktor, also einem Zustand, den sie gerne einnehmen möchten. Unser Doppelpendel hat einen Attraktor, es wird nämlich nach einiger Zeit senkrecht nach unten hängen.

Vorhersehbarkeit zeichnet die Naturwissenschaften, im besonderen die Physik aus. Ein Flugzeug fliegt, eine Billardkugel trifft das anvisierte Ziel. Wird ein Vorgang unter gleichen Bedingungen wiederholt, so erreicht man das gleiche Ergebnis; so sagt es das Kausalitätsprinzip.

Genau genommen ist es nie möglich, die gleichen Ausgangsbedingungen wieder herzustellen; aber wenigstens soll (bitte, bitte) gelten, dass ähnliche Ursachen ähnliche Wirkungen ergeben.

Poincare und der Meteorologe Lorenz aber fanden Prozesse, die bei sehr ähnlichen Ursachen völlig verschiedene Wirkungen haben können. Lange Zeit wurde dies jedoch als Kuriosität angesehen und unter den Teppich gekehrt. Die Chaostheorie erkannte jedoch, dass solche Fälle den Normalfall darstellen, manchmal dauert es allerdings lange, bis man das chaotische Verhalten erkennt.

Auch für unser Sonnensystem gilt, dass es für die nächsten Millionen, vielleicht gar Milliarden von Jahren wahrscheinlich stabil bleibt - aber dann?! Bis heute ist diese Frage nicht geklärt - Poincare zeigt lediglich, dass Chaos eintreten kann, aber nicht muss. Doch was meint Philosoph Murphy? Alles, das irgendwann einmal schief gehen könnte, wird schief gehen. Siehe Tschernobyl.

Chaos gleich Anfang aller Dinge?

Chaos muss nicht immer Tod und Verderbnis bedeuten, dem (deterministischen) Chaos haben auch wir unsere Existenz zu verdanken.

Auf dem Bild oben sieht man einen Teil eines Flachdachs. Beim Wort Chaos ist alles vorhanden, Erde, Wasser, Luft und als Feuer die Sonne, aber beim Pfeil war mal ein Samenkorn und das hat einen Prozess angestossen. Das Pflänzchen hat aus der Erde die erforderlichen Mineralien und Feuchtigkeit aufgenommen, aus der Luft Kohlensäure und dies alles mit Hilfe des Sonnenfeuers in Stengel und Blättern eingebaut. Das Chaos hat einen Attraktor gefunden und ist zu einem deterministischen Chaos geworden. In diesem Fall ist der Attraktor ein Fraktal, auch das ist möglich.

Eines der interessantesten natürlichen Fraktale ist die Bewölkung. Studiert man eine Zeit lang einen partiell bedeckten Himmel, so wird man einiges entdecken.

Ich hab im Netz einige eigenartige Wolkenbilder gefunden und da ich derartigen Erscheinungen nicht mehr selber nachlaufen kann, hab ich etwas "geräubert", ich bitte um Verständnis.

Das Bild oben links zeigt parallele Mehrfach-Wolken, oben rechts entwickeln sich mehrfache linsenförmige Wolken. Derartige Wolken entstehen bei wellenförmigen Luftbewegungen. Die Formationen unten links haben sich über Hawaii entwickelt. Auch die Wolke unten rechts sei eine linsenförmige, und es handle sich um eine echte Photographie.

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Chaostheorie

Chaos