Introduction

N'importe pourqui mais j'entrais un peu à l'envers dans le monde des fractales. D'abord m'intéressaient de "belles" images de la région limitrophe du fractale carré selon Mandelbrot, puis les puissances élevées. J'étais donc à une certaine mesure surpris qu'il y apparaissaient des images très similaires aux images du carré.

Le prochain c'étaient les fractales selon Julia et comme il existaient déjà les fonctions pour Mandelbrot j'arrivais donc facilement à ceux pour Julia de la 2. à la 21. puissance. Mais ici pour les puissances au dessus de 12 on arrive à des images qui conviennent comme modèles pour bases de verres ou de gâteaux.

Puis j'ai vu quelque part des présentations à trois dimensions, alors j'écrivais ces logiciels. Mais pour le cas de Mandelbrot je ne présente que des exemples des puissances 2-5 et en cas de Julia de 2-11. Des puissances plus élevées ne donnent pas grandes choses, à part d'une augmentation de temps pour le calcul.

De principe, j'aurais pu encastrer ces quatre possibilités dans un seul Programm, mais c'était bien plus facile d'en faire quatre logiciels sépares et autonomes.

Eh bien, j'aurais pu me pencher en arrière, mais comme j'ai vu que l'un ou l'autre de mes dessins ne se présentait pas seulement sur mon écran, mais aussi (avec un peu de fantaisie) dans la nature.

   

Alors je me procurait l'Essais THE FRACTAL GEOMETRIE OF NATURE (Mandelbrot 1983) - mais en effet ce n'était pas tout à fait la solution.

Mandelbrot aborde dans son essai le problème de la longueur de la côte de l'Angleterre. On n'arrive jamais, d'arpenter sa longueur exacte. En s'appuyant sur des exemples à traiter plus facilement il démontre que cette longueur est bien une ligne, mais qu'elle n'est pas de la dimension 1. La dimension de cette "ligne" est quelque part entre les intègres 1 et 2, Mandelbrot estime 1.26, c'est alors une fraction. Voila pourquoi on parle de Fractals, le latin fractum veut dire fractionné.

Une telle ligne se trouve aussi autours le "nain aux pommes", la figure basale du Mandelbrot deuxième puissance. Pour illustrer mieux ce fait, j'y ai composé une petite animation:

Commençant avec l'image x1 l'on agrandit à chaque fois un détail jusque à x1000. On pourrait continuer avec ces agrandissements, mais la distinction entre noir et blanc deviendrait de plus en plus imprécis. En principe c'est juste, comme à la nature, qui ne connaît pas des bords absolument précises.

Pour moi c'est un peu étrange, que Mandelbrot ne semble pas avoir remarqué que dans les région autour de sa figure se cache un nombre illimité d'images plaisantes. Mais il se peut que son ordinateur ne connaissait encore pas de couleurs; il se faut donc rappeler, qu'il était un des premiers avec des graphiques sur son écran.

Fractametrie

La géométrie, c.a.d. arpentage de la terre, ça c'était donc l'art des Ancien Egyptiens de pouvoir repartir le sol aux propriétaires après les inondations annuelles du Nil. Elle se développait de ça chez les Grecs surtout sous Euclid vers la géométrie classique avec compas et règle. Cette géométrie rendait bon service en construisant des plans pour construire des maisons ou des machines etc. Seul, en nature cette géométrie ne sert pas à grande chose: les montagnes ne son pas des cônes, les îles ne sont pas des superficies de cercles, les foudres ne suivent pas une droite et les nuages ne sont pas des boules. Pour les mathématiques on pourrait dire mêmes choses, bien qu'ils existent des explorateurs qui prétendent qu'une théorie serait prouvé si l'on aurait pu exprimer les rapports par une formulation mathématique. Peut-être vous vous apercevez que mathematique et geometrie (celle d'importance secondaire) vivent une vie assez isolée dans leur belle tour d'ivoire.

En outre se développait la cartographie, c.a.d. representation de la terre ou bien en deux dimensions (cartes) ou en trois dimensions (globes).

Geos (terre) et metrie (arpentage) ça donne géométrie, fractal et metrie donne fractametrie, c.a.d. arpentage de fractales. Je sais, que normalement on parle de fractalgeometrie, mais cette fractal-terre-arpentage ne me plaît pas, alors fractametrie.

Fractametrie rappelle à la cartographie, tous points de l'objet se présente en X, Y et Z; la Z on la présente des fois en couleurs.

Chaos

Initialement le mot CHAOS est dérivé du grec et voulait dire: gouffre affreuse, abîme, vide complet.

Sous les philosophes Anaxagoras et Plato l'acception do mot changeait en: matière primaire, amorphe, non formé.

Actuellement chaos veut dire quelque chose de négatif: désordre, pêle-mêle, pagaille.

Chaos apparaît la première fois 1975 dans un article de J. Yorke (1975) "Period three implies Chaos", mais il semble que ce n'était pas à prendre trop sérieux. Yorke étudiait le caractère des copies d'un intervalle sur soi-même; il résultait un comportement irrégulier.

Une charactéristique de systèmes chaotiques c'est leur sensibilité à minuscule déviations des conditions initiales ou marginales; tout à coup un comportement régulier peut changer en irrégulier. C'était E. Lorenz (1965) qui trouvait ça avec ses modèles météorologiques et peu après il formulait sa parole du papillon au golfe de Mexique qui influence le temps en Europe avec un battement d'ailes.

En 1989 H. Poincare examinait la stabilité des chemins des planètes dans notre système. Il trouvait que des moindres dérangements peuvent s'augmenter. Ayant peur des conséquences il arrêtait ses travaux; quand-même on parle des effets Poincare, si un système change d'un comportement régulier vers le chaotique.

Un système bien plus simple que notre système solaire c'est un pendule double: à un pendule est attache une deuxième. Si on pousse le premier doucement le système oscille régulièrement. Si on pousse plus fort, les oscillations deviennent irrégulières. Malgré des règles - qui ne perdent pas leur validité - les mouvements ne sont plus à estimer. On pare d'un chaos "déterministe".

Chaos - fin de tout?

Mais qu'est ce chaos déterministe? Ce sont des systèmes avec un attracteur, c'est à dire un état qu'ils aimeront d'atteindre. Notre double pendule connaît un tel attracteur: Un certain temps passé il est suspendu verticalement.

La prévisibilité est une des spécialité des sciences de la nature, surtout en ce qui concerne la physique. Un avion vole, une boule de billard touche sa destination. Répétant un événement sous conditions identiques donne le même résultat; ainsi dit le principe de causalité.

Dit précisément l'on n'arrive jamais aux conditions identiques; mais l'on espère quand-même que (s.v.p.) des conditions similaires mènent à des résultats similaires.

Mais Poincare et le météorologe Lorenz trouvaient processus qui donnent même à des conditions très similaires des résultats absolument différentes. Mais pendant bien du temps on pensait à des singularités et on les occultait. Mais la théorie du chaos trouvait que ça c'est la normalité. Mais des fois il dure bien longtemps jusqu'au comportement chaotique est remarqué.

Pour notre système solaire il faut admettre, que pour les millions, même pour des milliards d'années rien ne se passera - et puis? Personne ne connaît pas une réponse - Poincare indiquait que chaos peut, mais qu'il ne faut pas arriver. Mais que dit le philosophe Murphy? Tout ce qui peut rater, va rater. Rappelle Tchernobyl.

Chaos - début de tout?

Le chaos ne doit pas finir avec la mort ou la dépravation, c'est plutôt possible que le chaos (déterministe) a mené à notre existence.

L'image a en haut montre une partie d'un toit plat. Là ou vous lisez Chaos tout est prêt, terre, eau, air et comme feu le soleil, mais à la pointe de la flèche il était une fois une graine et celle a touché à un processus. La plante prenait de la terre les minéraux et l'humidité dont elle avait besoin, de l'air elle prenait du gaz carbonique, et à l'aide de la lumière du soleil elle a combiné tout ça pou ses tiges et feuilles. Le chaos a trouvé un attracteur et est devenu un chaos déterministe. Cette fois l'attracteur est un fractal, ça aussi c'est possible.

Un des fractales les plus intéressante dans la nature ce sont les nuages. Si l'on regarde un ciel partiellement couvert, on va découvrir des choses.

Moi j'ai trouvé sur le net des images de nuages bien pittoresques et comme je ne peux plus courir après de telles évènements j'ai donc "volé" quelques images, nous en demandons pardon.

L'image en haut et gauche montre des nuages multiples en parallèle, à droite se développent des lentiformes multiples. De telles nuages se forment à cause de mouvements onduleuses de l'air. Ces lentiformes (aussi celles en bas et gauche) se développaient au dessus de Hawaii. Le nuage en bas et à droite est déclaré lentiforme et on prétend que c'est vraiment une photo.

Liens

théorie du chaos

Chaos